Anno accademico 2023-2024

ANALISI MATEMATICA I

Docenti

Aleks Jevnikar
Simone De Reggi
Andrea Volpi
Lorenzo D'ambrosio
Anno di corso
1
Totale crediti
12
Periodo didattico
Annualità Singola
Tipologia
Base
Prerequisiti. Prerequisiti: buona conoscenza della lingua italiana parlata e scritta. Capacità di comprendere e sintetizzare un testo. Capacità di ragionamento logico.

Conoscenza degli insiemi numerici (naturali, interi e razionali). Conoscenza delle potenze ad esponente naturale, intero, razionale, dei logaritmi, del valore assoluto (modulo), della funzione radice quadrata. Conoscenza dei metodi risolutivi di equazioni e disequazioni polinomiali di grado uno e due, esponenziali e logaritmiche. Dimestichezza con l’uso della regola del prodotto dei segni e della legge di annullamento del prodotto per risolvere equazioni e disequazioni più complesse. Conoscenza dei rudimenti di geometria analitica: coordinate cartesiane, equazioni di rette, parabole, circonferenze, ellissi e iperboli. Conoscenza delle funzioni elementari e delle loro proprietà. Conoscenza delle basi della trigonometria piana e delle formule principali associate alle funzioni trigonometriche.

Propedeuticità:

https://www.uniud.it/it/didattica/info-didattiche/regolamento-didattico-del-corso/L-ing-meccanica/all-B2

Metodi didattici. Il corso prevede lezioni teoriche ed esercitazioni in classe, con illustrazione su come affrontare vari problemi ed esercizi connessi alle tematiche presentate. Il materiale didattico comprende un’ampia quantità di esercizi di allenamento, che lo studente deve risolvere autonomamente. Ogni settimana vi sono varie ore a disposizione per incontri di chiarimento con il docente e con eventuali collaboratori didattici.
Modalità di verifica. Al fine di appurare le conoscenze e le capacità acquisite dallo studente durante il corso (che comprendono le conoscenze teoriche e l’abilità di applicare la teoria nel risolvere gli esercizi), con riferimento agli obiettivi formativi, l’esame è composto da una prova scritta e da una prova orale.

La prova scritta consiste nel rispondere a quesiti di carattere teorico e nella risoluzione di esercizi. La prova scritta non è un test per risolvere in modo meccanico degli esercizi, ma richiede di saper applicare in modo corretto ed efficace gli strumenti di Analisi Matematica visti durante il corso, avendo coscienza di come i metodi vengono applicati nella risoluzione di alcuni problemi. Se il risultato totalizzato nella prova scritta è superiore a 16/30, lo studente affronta una prova orale, prevalentemente di carattere teorico, dove viene anche discussa la correzione della prova scritta.

Lo studente può affrontare l’esame suddividendolo in due prove relative al programma di ciascuno dei due semestri del corso.

Altre informazioni. A supporto dell’attività didattica, nella piattaforma web e-learning vengono messi a disposizione il diario dettagliato delle lezioni, numerose schede di esercizi e quiz.
Obiettivi formativi
Il corso vuole fornire una solida preparazione di base, coltivare e far crescere conoscenze e abilità nel calcolo differenziale e integrale per le funzioni reali di una variabile reale, nella teoria dei limiti di funzioni e successioni, nelle serie. Gli argomenti trattati sono fondamentali per poter affrontare agevolmente i corsi successivi. La teoria viene presentata con notevole rigore, sempre partendo dalle idee e usando le capacità intuitive, e allo stesso tempo corredata da numerosi esempi ed esercizi mirati, quando è possibile con un significato concreto.

Per informazioni più dettagliate, vedere anche:

https://www.uniud.it/it/didattica/corsi/area-scientifica/scienze-matematiche-informatiche-multimediali-fisiche/laurea/matematica/corso/regolamento-corso/all-B2/2022-2023/view

Contenuti
Alcuni concetti di base di logica e di teoria degli insiemi. Esempi di insiemi e modi di definire in modo corretto un insieme. Operazioni su insiemi. Coppie ordinate e prodotto di due insiemi. Relazioni e funzioni fra due insiemi. Alcuni concetti fondamentali relativi alle funzioni: dominio, codominio, insieme immagine, funzioni iniettive, suriettive, invertibili, funzione inversa, composizione di due funzioni, con esempi. Relazioni d’ordine in un insieme. Insiemi numerici: N, Z, Q e principio di induzione con esempi e applicazioni. Il campo ordinato completo R dei numeri reali (introduzione assiomatica) e sue proprietà principali.

Massimo e minimo di un insieme in R, estremo superiore ed estremo inferiore e relative proprietà. Funzione valore assoluto e funzione parte intera, grafici di funzioni, funzione massimo e funzione minimo fra due funzioni assegnate. Successioni in R. Distanza fra punti di R e fra punti del piano. Coordinate cartesiane, ascisse/ordinate. Intervalli della retta reale e intorni di un punto. Proprietà degli intervalli e degli intorni. Punti isolati e punti di accumulazione di un insieme. La retta ampliata con i punti all’infinito.

Limiti e continuità. Definizioni e teoremi principali. Funzioni monotone (crescenti/decrescenti). Teoremi sulle funzioni continue: teorema degli zeri (di Bolzano), teorema dei valori intermedi, teorema di Weierstrass su massimi e minimi. Funzioni continue definite su un intervallo. Teoremi sui limiti: somma, prodotto, rapporto, composta; teoremi di confronto sui limiti. Limiti notevoli. Funzioni elementari e loro grafici: potenze, polinomi, funzioni razionali, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche e loro inverse. Limiti notevoli che riguardano tali funzioni. Confronto locale di funzioni, simboli di Landau, infiniti e infinitesimi, ordine di infinito e di infinitesimo, parte principale rispetto a un campione. Asintoti.

Derivate, derivabilità e continuità, derivate successive, teoremi sulle derivate. Punti critici (punti stazionari), teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange. Massimi e minimi, crescenza/decrescenza su intervalli utilizzando la derivata prima. Formula di Taylor e di Taylor-MacLaurin. Proprietà del resto e stima dell’errore nell’uso della formula di Taylor. Funzioni convesse: definizioni equivalenti e criterio della derivata seconda per i punti di massimo/minimo. Punti di flesso. Il concetto di primitiva e il problema della ricerca di una primitiva.

Integrali e calcolo delle aree. Somme inferiori e superiori, integrale inferiore e superiore di una funzione limitata su un intervallo. Funzioni integrabili (e non integrabili) secondo Riemann. Il teorema del valore medio integrale e il teorema fondamentale del calcolo. La formula di Newton-Leibniz. Esempi di tecniche di integrazione: per parti, per decomposizione, per sostituzione, con esempi significativi. Calcolo di aree e studi di funzioni usando il teorema fondamentale del calcolo e suoi corollari. Volume dei solidi di rotazione.

Serie numeriche e principali proprietà, con particolare riguardo alle serie armoniche generalizzate e alle serie di potenze. Serie a termini positivi e teoremi di confronto sulle serie. Criteri di convergenza per le serie a termini positivi. Serie assolutamente convergenti e serie a segni alterni. Integrali impropri e principali proprietà. Relazioni fra integrali impropri e serie.

Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie, equazioni del primo ordine a variabili separabili e relativa tecnica di integrazione.

Testi di riferimento
Testo consigliato (ma non obbligatorio):

– E. Acerbi, G. Buttazzo, Primo corso di analisi matematica