Anno accademico 2023-2024

ALGEBRA I

Docenti

Anna Giordano Bruno
Raffaele Di Santo
Fernando JosÉ Barrera Esteban
Anno di corso
1
Totale crediti
12
Periodo didattico
Annualità Singola
Tipologia
Base
Prerequisiti. Nessuno.

https://www.uniud.it/it/didattica/info-didattiche/regolamento-didattico-del-corso/L-matematica/all-B2

Metodi didattici. Lezioni teoriche ed esercitazioni.

Ricevimento studenti.

Piattaforma moodle (e-learning) e/o team di Microsoft Teams: diario delle lezioni, fogli di esercizi, testi di esami scritti.

Modalità di verifica. Al fine di appurare le conoscenze e le capacità acquisite dagli studenti durante il corso, con riferimento agli obiettivi formativi, l’esame è composto da due parti:

una prova scritta della durata di circa tre ore, che consiste nella risoluzione di alcuni esercizi della stessa tipologia di quelli svolti durante le lezioni e le esercitazioni;

​una prova orale, accessibile previo superamento della prova scritta, che consiste in domande riguardanti la teoria.

Il voto finale è calcolato a partire dal voto della prova scritta e da quello della prova orale.

L’esame sulle due parti (semestri) del corso può essere sostenuto separatamente in due appelli distinti.

https://www.uniud.it/it/didattica/corsi/area-scientifica/scienze-matematiche-informatiche-multimediali-fisiche/laurea/matematica/studiare/criteri-guida-di-assegnazione-del-voto-degli-esami-di-profitto/view

Altre informazioni. L’insegnamento può essere tenuto in lingua inglese su proposta della struttura didattica competente.
Obiettivi formativi
https://www.uniud.it/it/didattica/info-didattiche/regolamento-didattico-del-corso/L-matematica/all-B2

L’insegnamento si propone in generale di sviluppare il linguaggio astratto dell’algebra. Si introducono ed approfondiscono le nozioni algebriche di base, di teoria dei gruppi, teoria degli anelli e dei campi. Si studiano i risultati fondamentali in tali ambiti e particolare riguardo è dedicato allo studio dei gruppi simmetrici, dei gruppi lineari e dell’anello dei polinomi.

Capacità relative alla disciplina

Conoscenza e comprensione:

Conoscere e comprendere i concetti fondamentali della teoria dei gruppi.

Conoscere e comprendere i concetti fondamentali della teoria degli anelli e dei campi.

Saper utilizzare il linguaggio algebrico.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione:

Applicare la teoria imparata per risolvere gli esercizi proposti.

Identificare e formalizzare strutture algebriche.

Capacità trasversali/soft skills

Autonomia di giudizio:

Individuare le tecniche algebriche più adatte per la risoluzione dei problemi assegnati.

Giudicare autonomamente la correttezza della dimostrazione di un teorema.

Abilità comunicative:

Presentare in modo chiaro e logico gli argomenti imparati.

Comunicare correttamente la dimostrazione di un teorema o la risoluzione di un esercizio.

Redigere autonomamente delle dimostrazioni algebriche.

Capacità di apprendimento:

Acquisire un metodo di studio adeguato per apprendere gli argomenti proposti nell’insegnamento e nuovi argomenti ad essi correlati.

Studiare in maniera autonoma, a partire dalla bibliografia consigliata.

Contenuti
Prima parte.

Richiami di teoria degli insiemi elementare.

Strutture algebriche: semigruppi, monoidi, gruppi.

Prime nozioni di teoria dei gruppi: gruppi e sottogruppi, periodo di un elemento.

Classi laterali di un sottogruppo, Teorema di Lagrange. 

Sottogruppi normali, gruppo quoziente.

Omomorfismi, Teoremi di omomorfismo, Teorema di corrispondenza.

Prodotti diretti di gruppi.

Gruppi ciclici, Teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti.

Gruppi di permutazioni, Teorema di Cayley.

Il gruppo dei quaternioni e il gruppo diedrale.

Gruppi di automorfismi.

Equazione delle classi.

​Teoremi di Sylow.​

Seconda parte.

Prime nozioni di teoria degli anelli: sottoanelli e ideali, anello quoziente, omomorfismi, prodotti diretti, anelli di matrici.

Il corpo dei quaternioni.

Ideali massimali e ideali primi di un anello commutativo, Teorema di Krull.

Domini d’integrità, campo dei quozienti di un dominio d’integrità.

Anelli di polinomi su un campo: radici, Teorema di Ruffini, algoritmo della divisione.

Elementi irriducibili e primi di un dominio d’integrità, domini a fattorizzazione unica, domini principali, domini euclidei.

Gli interi di Gauss.

Teoria dei campi: prime nozioni, campi finiti, radici dell’unità.

Polinomi irriducibili, fattorizzazione, criterio di Eisenstein, polinomi ciclotomici.

Estensioni di un campo, elementi algebrici e trascendenti.

Campi algebricamente chiusi.

Testi di riferimento
D. Dikranjan, M.S. Lucido, Aritmetica e Algebra, Liguori Editore, 2007.