Anno accademico 2022-2023

ELEMENTI DI MATEMATICA E ALGEBRA LINEARE

Docenti

Giovanna D'agostino
Enrico Bozzo
Riccardo Romanello
Anno di corso
1
Totale crediti
12
Periodo didattico
Annualità Singola
Tipologia
Base
Prerequisiti. Programma di matematica comune a tutti gli indirizzi delle scuole superiori che prevedono 5 anni di matematica.
Metodi didattici. Lezioni frontali. Uso di esercizi e quiz in modalita’ elearning. Ore di esercitazione dedicate allo svolgimento partecipato di esercizi.
Modalità di verifica. L’esame è diviso in due parti, corrispondenti alla divisione del programma in due semestri.

Ogni parte prevede un esame scritto, con risoluzione di esercizi di difficoltà crescente e un esame orale.

Obiettivi formativi
La prima parte del corso riprende alcuni argomenti fondamentali del linguaggio matematico di base, in parte già affrontati durante il percorso scolastico dello studente, quali il linguaggio insiemistico, la teoria delle funzioni e relazioni, l’aritmetica e il calcolo combinatorio con l’obiettivo di sviluppare in modo graduale le capacità analitiche, dimostrative e modellistiche.

Questa parte è  suddivisa in quattro sezioni: 1.Introduzione al linguaggio matematico elementare

Obiettivo di questa parte è porre le basi per riuscire ad esprimersi correttamente nel linguaggio matematico. Verranno analizzate e messe a confronto diverse notazioni e definizioni insiemistiche e si svilupperanno dei primi ragionamenti astratti in questo ambito. 2.Funzioni e relazioni. Si introducono le prime definizioni facendo largo uso di esempi atti a superare le difficoltà dovute all’aumentare del livello di astrazione, come ad esempio quando si considera l’insieme delle classi di una relazione d’equivalenza. 3.Aritmetica e congruenze. Obiettivo di questa sezione è lo sviluppo delle capacità dimostrative e l’esemplificazione dell’uso della matematica elementare nelle applicazioni, ad esempio in criptografia. 4.Calcolo combinatorio. Vengono analizzate diverse tecniche per il calcolo delle cardinalità di insiemi finiti con l’obiettivo di imparare a modellare problemi che nascono in ambiti diversi e mettere a frutto le capacità dimostrative acquisite nei punti precedenti.

Nella seconda parte del corso vengono introdotti i primi concetti di algebra lineare e si presentano esempi di applicazione dei suoi strumenti alla risoluzione di sistemi lineari e alla rappresentazione dei movimenti nel piano e nello spazio. Queste nozioni vengono poi generalizzate a dimensioni superiori. Questa parte è  suddivisa in tre sezioni.

1. Sistemi lineari e la loro rappresentazione matriciale. Obiettivo di questa sezione è mostrare come una rappresentazione matematica possa essere utile per rappresentare e risolvere concisamente un problema. 2. Le definizioni e le tecniche dell’algebra lineare (dipendenza, basi,…) sono prima introdotte nel piano e nello spazio e poi generalizzate a dimensioni superiori. Obiettivo di questa sezione è   esporre lo studente in maniera graduale ad un maggior grado di astrazione. 3. Introduzione alle trasformazioni lineari e alla loro rappresentazione tramite matrici, considerando prima rotazioni e simmetrie nel piano e nello spazio e poi dimensioni superiori. Obiettivo di questa parte è esemplificare come certi movimenti nel piano e nello spazio possano essere riprodotti nel computer attraverso la loro rappresentazione matematica.

Contenuti
Nella prima parte del corso verranno introdotti concetti e strumenti  della matematica elementare   evidenziando l’importanza del linguaggio logico matematico e delle dimostrazioni nella descrizione e nello sviluppo di questi concetti. Molto spazio viene dedicato agli esercizi e  ad una loro risoluzione consapevole.

Nella seconda parte del corso vengno introdotti concetti e strumenti dell’Algebra Lineare.

ARGOMENTI PRIMA PARTE: Connettivi e Quantificatori; strategie di ragionamento. Insiemi e funzioni. Relazioni, relazioni d’ordine parziale e totale. Relazioni d’ equivalenza, partizioni e classi d’equivalenza. Principio di induzione. Elementi di Calcolo Combinatorio. Aritmetica intera, quoziente e resto, numeri primi e fattorizzazione. Massimo comun divisore e minimo comune multiplo. Algoritmo di   Euclide per il massimo comun divisore. Congruenze e RSA.

ARGOMENTI SECONDA PARTE: Sistemi lineari. – Matrici, somma, prodotto, matrice inversa. – Spazi vettoriali di dimensione finita sui reali, dipendenza ed indipendenza lineare, basi e dimensione. – Prodotto scalare e norma di vettori – Trasformazioni lineari. – Trasformazioni lineari e matrici. Trasformazioni lineari e sistemi lineari. – Determinanti. – Diagonalizzazione, autovalori ed autovettori.

Testi di riferimento
Materiale didattico fornito dal docente sul sito elearning dell’universita’ (slides utilizzate in classe, dispense, esercizi interattivi).

Per il secondo modulo viene anche adottato il libro:

Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra (Sixth or Fifth Edition) Wellesley Cambridge Press