Partendo da alcuni elementi di combinatorica, e più specificamente dalla teoria di Ramsey, il corso vuole condurre ad alcuni risultati metamatematici in particolare arrivando a ottenere l’indimostrabilità nell’aritmetica di Peano di una generalizzazione del teorema di Ramsey. Si tratta di un famoso risultato dovuto a Paris e Harrington che fornisce un esempio matematicamente rilevante del teorema di incompletezza di Gödel.

La teoria di Ramsey asserisce che ogni struttura sufficientemente grande contiene una sottostruttura regolare: la grandezza della struttura necessaria dipende dalla sottostruttura che vogliamo che contenga. Incontreremo il classico teorema di Ramsey (nelle versioni finita e infinita), il teorema di Turán, il teorema di van der Waerden sulle progressioni aritmetiche e il teorema di Hales-Jewett sulle rette combinatoriali. Dalle dimostrazioni di questi teoremi emergerà l’esistenza di funzioni che crescono molto rapidamente. Avremo anche occasione di considerare le estensioni di questi teoremi ai cardinali infiniti.

Alla fine del corso ci affacceremo sull’area di ricerca della reverse mathematics, il cui scopo è precisamente la ricerca degli assiomi necessari e sufficienti per la dimostrazione di specifici teoremi. Negli ultimi decenni i teoremi di Ramsey hanno avuto un ruolo molto importante in reverse mathematics.